- Dicesi unità frazionaria ciascuna delle parti uguali nelle quali si può suddividere una data unità
. - Una o più unità frazionarie dello stesso tipo costituiscono, nel loro insieme, una frazione.
Termini della frazione:
3 3 si chiama numeratore
4 4 si chiama denominatore
linea di frazione
La linea di frazione indica che la quantità intera è stata divisa in parti uguali.
Il denominatore indica in quante parti uguali è stata divisa la parte intera
Il numeratore indica quante di queste parti si considerano.
ad esempio: 3 significa che una torta è stata divisa in quattro parti uguali e se ne sono 4 prese tre.
Ogni frazione rappresenta il quoziente esatto della divisione fra il numeratore e
il denominatore.
Classificazioni delle frazioni
Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denominatore.
ad esempio: 3 7
5 8
Una frazione si dice impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore.
( indica più di una quantità intera )
ad esempio: 9 è formata da 5 + 4 cioè da una quantità intera più quattro quinti 5 5 5 di un’ altra quantità intera.
Una frazione si dice apparente quando il numeratore è multiplo o uguale al denominatore.
ad esempio: 9 4
3 2
Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano una stessa quantità ma che
hanno numeratori e denominatori diversi.
ad esempio: 7 21
5 15
Proprietà delle frazioni
-
Proprietà fondamentale o invariantiva delle frazioni. Il valore di una frazione non cambia moltiplicando o dividendo dove è possibile per uno stesso numero sia il numeratore che il numeratore.
ad esempio: 8 * 4 32
3 * 4 12Classi di equivalenza
Appartengono a una classe di equivalenza tutte le frazioni equivalenti di una frazione.
ad esempio: Classe 8 [ 8 16 24 ]
3 [ 3 6 9 ]
Operazioni con le frazioniAddizione.- La somma di due o più frazioni aventi uguale denominatore è uguale
ha una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori.Ad esempio: 15 + 8 = 15 +8 = 23
3 3 3 3Sottrazione.- La differenza di due o più frazioni aventi uguale denominatore è uguale una una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e per
numeratore la differenza dei numeratori.
Ad esempio: 15 – 8 = 15 – 8 = 7
3 3 3 3
Se le frazioni hanno denominatori diversi per sommare o sottrarre ecco il procedimento:
-
Si calcola il m.c.m. ( minimo comune multiplo ) dei denominatori.
-
Il minimo comune multiplo ottenuto diventa il denominatore di tutte le frazioni coinvolte
-
Il minimo comune multiplo così ottenuto si divide per il primo denominatore e il risultato, si moltiplica per il primo numeratore e così via
Ad esempio: 7 – 8 =
4 6Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri, si scompongono in numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente.
In questo caso:
4|2
2|2
1|
6|2
3|3
1|
4 = 22
6= 2*3
m.c.m = 22 * 3 = 4 * 3 = 12
Quindi il nuovo denominatore diventa 12
quindi 12 (m.c.m – nuovo denominatore ) : 4 (vecchio denominatore della prima frazione) * 7
( vecchio numeratore della prima frazione) = 3 * 7 = 21
12 (m.c.m – nuovo denominatore ) :6 (vecchio denominatore della seconda frazione)* 8
( vecchio numeratore della seconda frazione)= 2 * 8 = 16
Quindi:
21 – 16 = 5
12 12
Moltiplicazione
Il prodotto di due o più frazioni è uguale ad una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
ad esempio:
5 * 4 = 20
3 7 21
Divisione
Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’ inversa della seconda.
Ad esempio:
15 : 7 = 15 * 2 = 30
3 2 3 7 21
Numeri misti
Si dice numero misto la somma di un numero intero e di una frazione propria.
ad esempio: 5 + 3
4
Numero misto a una frazione impropria
Un numero misto è uguale da una frazione impropria avente lo stesso denominatore della parte frazionaria. Il suo numeratore si ottiene moltiplicando la parte intera per il denominatore e aggiungendo al prodotto ottenuto il numeratore della parte frazionaria.
Esempio:
3 + 4 = 15 + 4 = 19
5 5 5
Da una frazione impropria a un numero misto
19 = 19: 5 = 3 con il resto di 4
5
Per trasformare una frazione impropria a un numero misto, come numero intero il
quoziente della divisione sommando una frazione propria come denominatore lo stesso
denominatore e per numeratore il resto della divisione.
Allora:
19 = 3 + 4 19: 5 = 3 con il resto di 4
5 5
Una frazione ridotta ai minimi termini
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando i suoi termini sono numeri primi fra
di loro, e il loro Massimo comune divisore è uno.
Ad esempio:
222 = 222= 2 * 3 * 37
30 30= 2 * 3 * 5
M.C.D. = 2 * 3 = 6
222 : 6 =37 30: 6 = 5
37 questa frazione è ridotta ai minimi termini.
5
Potenza di una frazione
Per elevare a potenza una frazione si elevano a quella potenza sia il numeratore che il denominatore.
Considerazioni
1) La frazione di un numero intero si considera come denominatore uguale a 1
2) Una frazione avente numeratore e denominatore uguali, la frazione è uguale a 1
3) Una frazione avente come numeratore zero e denominatore qualsiasi numero è uguale a zero.
4) Una frazione avente come denominatore zero non ha alcun significato
5) Una frazione avente numeratore e denominatore zero e indeterminata
6) Una frazione propria è minore dell’ unità.
7) Una frazione impropria è maggiore dell’ unità
8) In una frazione apparente dividendo numeratore e denominatore si ottiene un numero naturale
9) Una frazione impropria è maggiore di una frazione propria
10) Una frazione apparente è maggiore di una frazione propria
11) Due frazioni che hanno lo stesso numeratore è maggiore quella frazione che ha il denominatore minore.
12) Due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore quella frazione che ha il
numeratore maggiore.